线性代数概要¶
说明：这份资料本质上是对结论的总结，供快速阅览和查找用。不适合任何形式的线性代数考试。
1. 线性方程组¶
行列式通常定义¶
\[ {\displaystyle \det(A)=\sum _{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}a_{1,i_{1}}\!\cdots a_{n,i_{n}}} \]
其中 \(\varepsilon _{i_{1}\cdots i_{n}}\) 为 Levi-Civita记号。
行列式递归定义¶
定义余子式（minor）：
\[ M_{i,j} \qq{为删除矩阵第$i$行和第$j$列的子方阵行列式} \]
代数余子式（cofactor）：
\[ C_{i,j} = (-1)^{i+j} M_{i,j} \]
则行列式为：
\[ {\displaystyle \det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{i,j}M_{i,j}} \]
Vandermonde 矩阵¶
\[ {\displaystyle {\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&\cdots &x_{n}\\x_{1}^{2}&x_{2}^{2}&x_{3}^{2}&\cdots &x_{n}^{2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1}^{n-1}&x_{2}^{n-1}&x_{3}^{n-1}&\cdots &x_{n}^{n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{1\leq i<j\leq n}\left(x_{j}-x_{i}\right).} \]
其中当 \(x_1,\cdots,x_n\) 各不相同时，行列式值不为0.
Cramer 法则¶
如果有 \(n\) 个方程的 \(n\) 元线性方程组有唯一解时，系数矩阵满足：
\[ \abs{A} = \mqty|a_{11}& a_{12}& \cdots &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}| \neq 0 \]
且解集为：
\[ \qty(\frac{|B_1|}{|A|},\frac{|B_2|}{|A|},\cdots,\frac{|B_n|}{|A|}) \]
其中：
\[ \abs{B_j} = \mqty|a_{11}& \cdots& a_{1,(j-1)}&b_1&a_{1,(j-1)}&\cdots &a_{1n} \\ a_{21}& \cdots& a_{2,(j-1)}&b_2&a_{2,(j-1)}&\cdots &a_{2n}\\\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\a_{n1}& \cdots& a_{n,(j-1)}&b_n&a_{n,(j-1)}&\cdots &a_{nn}| \]
2. 向量及矩阵的运算¶
基本运算¶
特殊矩阵¶
伴随矩阵 逆矩阵¶
伴随矩阵定义为：
\[ \text{adj}\,A = A^{*} = \bmqty{ C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{ nn} } \]
对于二维矩阵有：
\[ \bmqty{ a & b \\ c & d }^{*} = \bmqty{ d & -b \\ -c & a } \]
逆矩阵公式：
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det A} A^{*} \]