微积分概要¶
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说明：这份资料本质上是对结论的总结，供快速阅览和查找用。不适合任何形式的高等数学考试。
1. 极限与导数¶
Stolz定理¶
若数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 满足：
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n = \infty\) 且 \(\{b_n\}\) 严格单调递增
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n = \infty\)
或者满足：
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} b_n = 0\) 且 \(\{b_n\}\) 严格单调递减
- \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} a_n = 0\)
则： $$ \lim_{n\to\infty} = \frac{a_n - a_{n-1}}{b_n - b_{n-1}} = L\quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to\infty} = \frac{a_n}{b_n} $$
相当于是离散版本的L' Hospital定理。
一阶导数的传递性质¶
\[ \dv{y}{x} = \dv{y}{u}\dv{u}{x} \qc \dv{x}{y} = \frac{1}{\dv{y}{x}} \]
一阶导数可以类似于商进行传递，但二阶导数不行。
高阶导数（Leibniz 公式）¶
\[ (f(x)g(x))^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^n \mqty(k\\n) f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x) \]