Monte Carol 算法¶
1. Basis¶
由经典的统计力学得到，一个经典系统的可观测量满足： $$ \ev{A} = \frac{\int \dd[3]{\va r^N} A(\va r^N) e^{-\beta U(\va r^N)}}{\int \dd[3]{\va r^N} e^{-\beta U(\va r^N)}} $$ 采取某个构象的概率密度为： $$ P(\va r^N) = \frac{e^{-\beta U(\va r)}}{Z} $$ 考虑在构象空间（configuration-space）中，随机生成 \(L\) 个点，则处于 \(\va r^N\) 附近的一小片区域（子空间） \(\Delta_{\dd{N}}\) 的点数目： $$ n_j = LP(\va r^N) \Delta_{\dd{N}} $$ 如果有 \(M\) 个子空间，并且平铺整个构象空间，这就有 \(M = V^N /\Delta_{\dd{N}}\)。当取得子空间体积 \(\Delta_{\dd{N}}\) 足够小时，对应 \(M\) 和 \(L\) 足够大时有： $$ \ev{A} \approx \frac1L \sum_{j=1}^M n_jA(\va r_j^N) $$ 相当于把构想空间划分成 \(M\) 块，并对每一块取加权平均。类似于粗粒化操作。
当然我们也可以写成直接对每个点求平均的形式： $$ \ev{A}\approx \frac1L \sum_{j=1}^L A(\va r_j^N) $$ 这样的好处是，我们不需要计算配分函数，因为 \(\sum_j n_j = L\) 本身就是归一化的。然而这意味着生成的点必须满足 Boltzmann 权重。这一方法被称为重要性采样 (Importance Sampling)。