量子化学 Quantum Chemistry¶
1. 数学快速准备¶
1.1 线性代数¶
推荐教材：
- Gilbert Strang, Introduction to Linear Algebra 5th-ed (Wellesley, 2016).
- 丘维声，《简明线性代数》(北京大学出版社，2002).
- F.W. Byron, Jr. and R. W. Fuller, Mathematics of Classical and Quantum Physics (Dover 1992)
- R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis (2nd ed.) (Cambridge Uni. Press 2012).
一些简单定义：
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单位矩阵 \(I\)：\(I_{ij} = \delta_{ij} = \begin{cases} 1&,i=j\\ 0&,i\neq j \end{cases}\)
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矩阵的逆：\((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)
- 矩阵的转置：\(\mathbf{A}^{\mathsf{T}}_{ij} = A_{ji}\)
- 矩阵的厄米共轭：\((\mathbf{A})_{ij}^{\dagger} = A_{ji}^*\)
- 厄米（Hermitian）矩阵：\(\mathbf{A}^{\dagger} = \mathbf{A}\)
- 幺正（unitary）矩阵：\(\mathbf{A}^{\dagger} \mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^{\dagger} = \mathbf{I}\)
- 正交矩阵：\(\sum_k A^*_{ki} A_{kj} = \sum_k A^*_{ik} A_{jk} = \delta_{ij}\)
- 矩阵的迹：\(\operatorname{Tr} \mathbf{A} = \sum_i A_{ii}\)，\(\operatorname{Tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname{Tr}(\mathbf{B}\mathbf{A})\)
- 相似/幺正/正交变换：\(\mathbf{A} = \mathbf{T}^{-1} \mathbf{B} \mathbf{T}\)
- 矢量的内积：\(\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u}^{\dagger} \boldsymbol{v}\)
- 幂等矩阵：\(\mathbf{P}^2 = \mathbf{P}\)
排列算符（将矩阵元素排列为一种形式）：
\[ \mathcal P_I(1,2,\cdots,n) = (I_1, I_2, \cdots ,I_n) \]
互换算符（排列算符的分解，包含奇数/偶数次互换的排列称为奇/偶排列）：
\[ \mathcal P_{ij}(\cdots,i,\cdots,j,\cdots) = (\cdots,j,\cdots,i,\cdots) \]
一般定义：
\[ \abs{\vb A} = \]
中道崩殂了。明年再战！