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1.宏观晶体与对称性
1.1 晶胞与宏观晶体 1.1.1 晶胞的选取 众所周知，晶胞指的是晶体中可以通过平移无限延展的一种重复单元，一般由一个几何体以及其内部填充的原子组成。需要注意的是，一个晶胞不仅需要包含其内部的原子，还需要包含几何体内的空间，这意味着构成晶胞的几何体必须仅通过平移形成二维或三维密铺。 在二维情况，这类的情况有很多，主要包括以下两种结构的衍生： 不难看出，对于二维结构而言，其共同含有对边平行且相等的特征，不妨称为平行多边形（parallelogon）。我们把这一特征运用的三维情况下，可以构造出如下平行多面体（parallelohedron）： 形如 $4^66^8$ 的记号被称为多面体记号（正式的叫施莱夫利符号，严格来说数学上并没有这样的写法，但是竞赛里一般都用这种写法表示），表示一个多面体由6个四边形面和8个六边形面组成。 一般而言，这样的多面体选取越简单越好，于是乎人们规定二维晶胞的形状为平行四边形，三维晶胞的形状为平行六面体。 常见的平行六面体晶胞分为两种： - 素晶胞（primitive cell，也叫原胞）：恰好只包含一个点阵点的晶胞，即所选的晶胞恰好是一个最小的重复单元，对平行六面体的具体形状没有要求。 习惯上对于素晶胞，常常选择一个点阵点作为顶点，这样方便定位。对于平行六面体而言，只需确定其棱边上的三个向量 $\vec, \vec, \vec$ 即可确定其在空间内的位置，所以我们只需要先找到一个点阵点，再在它周围选择其他三个点阵点构建向量，最后由平移对称性即可构建整个素晶胞。
10.晶体中的数学推导
前面的课程里，我们反复"用公式说话"：Lecture 1 用三角学证明晶体学限制定理，Lecture 2 推导了 Bragg 方程、晶面间距公式和 Scherrer 公式，Lecture 3 推导了半径比规则。这一讲把它们中最硬核的两个"手算题"集中补完：晶面间距的计算与晶面能的估算。学会这两个推导，你对"晶体学 = 对称性 + 几何"这句话就有了切身体会。 10.1 晶面间距的计算 10.1.1 正交晶系 Lecture 2 只给了晶面间距公式的推导思路，这里把它补完整。考虑一组晶面 $(hkl)$，晶胞参数为 $a, b, c$。晶面在三个轴上的截距分别是： 晶面 $(hkl)$ 的法向量方向可以用"截距倒数"构造：与三个轴相交于 $a/h,\ b/k,\ c/l$ 的平面，其法向量为 （回忆 Miller 指数本来就是截距的倒数，把倒数再"乘回"轴上，得到的正是法向量方向。）法向量的长度倒数就是晶面间距： 对正交晶系，三个轴互相垂直，交叉项全部消失： 这就是 Lecture 2 里直接给出的正交晶系公式。立方晶系（$a = b = c$）退化为： 用上面的公式验证 Lecture 2 用过的三组间距：$d = a$，$d = a/\sqrt 2$，$d = a/\sqrt 3$。 对立方晶系：
2.晶体的表征、Bragg方程与系统消光
说了这么多理论方面的事情，现在我们先来聊点实际的话题：怎么确定一个晶体中原子的位置？我们知道原子基本上可以视为一个电荷密度极大的区域，如果把一个晶面上的所有原子联合起来，可以视为一面天然的三维衍射光栅。仔细想一想，我们知道当光栅和波长大约一个量级的时候，会发生干涉现象，导致光强发生变化。 可见光的波长在几百纳米量级，而晶面间距只有 $0.1 \sim 1\ \text$，用可见光照射晶体，根本看不出内部的周期结构。X 射线的波长在 $0.01 \sim 0.1\ \text$，与晶面间距同数量级，于是X射线就成为分析晶体的一个很好的工具。 2.1 Bragg 方程 2.1.0 X射线 我们先说一件事情：特定波长的X射线怎么产生？ 如果我们想要特定波长的 X 射线，就意味着这个射线有固定的能量，而最好能利用这一点的方式就是利用量子化的性质。激发态原子的回落就是一个特别好的手段。 利用电子轰击掉原子的$K$层电子（一般会用铜原子），这之后上层电子会回落到$K$层。当上层电子回落时，如果是 $L$ 层的电子回落，则释放的能量以固定波长的X射线形式射出，这种射线记为 $K\alpha$ 射线（$\pu, \pu$）。如果是 $M$ 层电子回落，则记为 $K\beta$ 射线（$\pu, \pu$）。 当然我们知道，原子层内部还有角动量量子数的区分，因此还可以往下细分到 $K$ 和 $K$。详细可以参考这篇文章：Physics Letters A, Volume 426, 2022, 127900, ISSN 0375-9601, . 听起来很美好，但是往往有一个问题：$\ce$ 的 $K\alpha$ 射线和 $K\beta$ 射线往往会同时产生。此时我们会用到镍滤光片：因为 $\ce$ 的K电子吸收在 $\pu$，正好卡在$K\alpha$ 射线和 $K\beta$ 射线中间。这样就能大幅滤掉波长较短的 $K$ 设备了。 2.1.1 衍射条件与 Bragg 方程
3.堆积、多面体与晶体构造
前两讲我们学会了描述晶体的对称性（Lecture 1）和探测原子位置的手段（Lecture 2）。从这一讲开始，我们进入结构化学的核心问题：晶体结构是怎么"搭"出来的？ 方法简单却异常强大：把原子想象成等径的球，先看它们如何密堆积，再往堆积留下的空隙里填原子，就能构造出绝大多数晶体结构。后面 Lecture 4–10 讲到的各种结构类型，都将使用同一套"堆积语言"来描述，所以本讲的内容是后续所有结构章节的基础。 3.1 密堆积 3.1.1 堆积记号 本章及以后内容采用记号： - $P$（Pack）：密置层； - $T$（tetrahedral）：四面体空隙； - $O$（Octahedral）：八面体空隙。 $a$：每个堆积周期重复的 $P$ 数；$a \cdot b$：总层数。例如： - $\ce$：$3 \cdot 2PO$（$P(A)OP(B)OP(C)O$） - $\ce$：$3 \cdot 2PT$（$P(A)TP(B)T$）
4.晶体与光电磁
前面的章节都在回答"晶体里原子怎么排"，这一讲回答另一个问题：排布方式决定了晶体的哪些性质？ 对称性在这里再次成为主角——有没有对称中心、有没有手性、磁矩怎么排、能带怎么填，直接决定了晶体是压电的、铁磁的、导电的，还是彩色的。这一讲我们不堆新的堆积记号，而是把 Lecture 1 的对称性知识和 Lecture 5–8 的结构知识"通电"。 4.1 晶体的电属性 4.1.1 压电效应 压电效应（piezoelectric effect）：对没有对称中心的晶体施加机械压力，原子发生位移、偶极矩改变，某些表面就会产生电荷。 反过来，对这样的晶体施加电场，会产生机械形变——这叫反压电效应。打火机的压电点火器、石英手表里的振荡器，靠的都是这个效应。 产生压电效应的前提是没有对称中心。不过有一个例外：点群 $O$（$432$）没有对称中心，但它的高对称性使压电效应为零。所以准确的判据是：无对称中心的点群几乎都有压电效应，除了 $O$-$432$。 4.1.2 热电效应 在压电晶体的基础上，如果晶体本身具有偶极矩（自发极化），但平时被表面电荷"屏蔽"了，只有加热时才显示出来——这就是热电效应（pyroelectric effect）。 热电晶体和普通压电晶体的区别在于：热电晶体两端没有对称元素联系（否则偶极矩会被对称操作抵消）。也就是说，热电晶体一定是极性晶体。 4.1.3 铁电效应
5.单质晶体
前面几讲我们一直在看"两种原子怎么配合"，这一讲换个口味：只有一种原子时，晶体怎么选结构？ 答案是：先把球堆起来（稀有气体、金属），再让化学键说了算（共价单质）。这一讲你会看到，堆积语言不仅能描述化合物，还能解释"为什么 $\ce$ 是 hcp、$\ce$ 是 bcc、金刚石是四面体"这类最基础的问题。 5.1 稀有气体与金属的密堆积 5.1.1 稀有气体：全都 ccp 稀有气体原子之间只有微弱的范德华力，没有方向性，所以它们尽量堆得最密——几乎所有稀有气体晶体都是 ccp： 5.1.2 金属：三种常见堆积 金属键同样没有方向性，金属原子按密堆积"自觉排队"，常见的有三种： 其中 bcc 的堆积记号说明它其实可以看作"体心空隙被填满的密堆积"——对 ccp 而言 $P$ 与 $O$ 等价，所以也常写作 $2$。此外还有双六方密堆积（dhcp）：层序 $ABAC$，周期 4 层，如 $\ce$ 等稀土金属（$4P$）。 共价性较强的碳族元素（$\ce$、$\ce$、$\ce$ 等）放弃密堆积，选择方向性的 $sp^3$ 键，采取金刚石结构 $3 \cdot 2PT$（Lecture 7 闪锌矿的"单元素版"）。碳的同素异形体我们 5.6 再细说。 5.2 金属堆积的选择：为什么会有 bcc？ 既然 hcp 和 ccp 的堆积系数（$74\%$）都比 bcc（$68\%$）高，为什么还有那么多金属选 bcc？讲义给了三个视角：
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国境の長いトンネルを抜けると雪国であった。夜の底が白くなった。信号所に汽車が止まった。
穿过县界长长的隧道，便是雪国。夜空下一片白茫茫。火车在信号所前停了下来。
——川端康成《雪国》